2004 年考研数学（一） 第 19 题

隐函数极值走'求偏导 → 定驻点 → 二阶判别'三步标准流程，只是每步都要借助隐函数求导。令一阶偏导为零时，取其分子为零较方便（分母 $y+z\ne 0$），联立原方程锁定驻点。最后 $AC-B^2>0$ 且看 $A$ 正负决定极小或极大。

分析：对方程两边分别关于 $x,y$ 求偏导得驻点方程，联立原方程求驻点，再用二阶偏导（$AC-B^2$）判别极值。

方程两边对 $x$ 求偏导：$2x-6y-2y{z}_x-2z{z}_x=0$，得 $z_x=\frac{x-3y}{y+z}$。两边对 $y$ 求偏导：$-6x+20y-2z-2y{z}_y-2z{z}_y=0$，得 $z_y=\frac{-3x+10y-z}{y+z}$。

令 $z_x=z_y=0$，即 $x-3y=0$ 且 $-3x+10y-z=0$。联立原方程解得驻点 $(x,y)=(9,3)$（对应 $z=3$）与 $(x,y)=(-9,-3)$（对应 $z=-3$）。

在 $(9,3)$（$z=3$）处 $A=z_{xx}=\frac{1}{6},B=z_{xy}=-\frac{1}{2},C=z_{yy}=\frac{5}{3}$，$AC-B^2=\frac{1}{36}>0$ 且 $A>0$，故取极小值 $z=3$。

在 $(-9,-3)$（$z=-3$）处 $A=-\frac{1}{6},B=\frac{1}{2},C=-\frac{5}{3}$，$AC-B^2=\frac{1}{36}>0$ 且 $A<0$，故取极大值 $z=-3$。