2004 年考研数学（一） 第 6 题

题目把阈值写成 $\sqrt{D(X)}$，第一步就是把它翻译成数值。指数分布 $D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$，开根得 $\frac{1}{\lambda }$，代入上侧概率 ${\mathrm{e}}^{-\lambda c}$ 时 $\lambda$ 正好抵消——答案应是与参数无关的常数，这也是一个可自检的信号。

分析：指数分布 $X\sim E(\lambda )$ 的方差 $D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$，故 $\sqrt{D(X)}=\frac{1}{\lambda }$。

指数分布的分布函数为 $F(x)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$

于是 $P\{X>\sqrt{D(X)}\}=P\left\{X>\frac{1}{\lambda }\right\}=1-F\left(\frac{1}{\lambda }\right)={\mathrm{e}}^{-\lambda \cdot \frac{1}{\lambda }}={\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}$。