2004 年考研数学（一） 第 5 题

看到 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 就用 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$ 是本能反应，这是消去伴随矩阵的桥梁。目标是标量 $|\mathbf{B}|$，所以策略是先把矩阵方程整理干净，再'两边取行列式'把矩阵关系变成数的关系。

分析：利用公式 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$ 消去 ${\mathbf{A}}^{\ast }$，再对所得矩阵等式取行列式。

先算 $|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=(4-1)\times 1=3$。

在 ${\mathbf{ABA}}^{\ast }=2{\mathbf{BA}}^{\ast }+\mathbf{E}$ 两边右乘 $\mathbf{A}$，并用 ${\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}=3\mathbf{E}$，得 $3\mathbf{AB}=6\mathbf{B}+\mathbf{A}$，即 $3(\mathbf{A}-2\mathbf{E})\mathbf{B}=\mathbf{A}$。

两边取行列式：$3^3|\mathbf{A}-2\mathbf{E}|\cdot |\mathbf{B}|=|\mathbf{A}|=3$。而 $\mathbf{A}-2\mathbf{E}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$，$|\mathbf{A}-2\mathbf{E}|=1$。故 $27|\mathbf{B}|=3$，$|\mathbf{B}|=\frac{1}{9}$。