2004 年考研数学（一） 第 4 题

识别欧拉方程的信号是'$x$ 的方次恰等于求导阶数'。这类变系数方程本身不好解，但代换 $x={\mathrm{e}}^t$ 能把它精确转成常系数线性方程，从而套用特征根法。整道题的核心就是这一步'变系数 → 常系数'的转化。

分析：欧拉方程，作代换 $x={\mathrm{e}}^t$（即 $t=\ln x$）化为常系数线性方程。

令 $x={\mathrm{e}}^t$，记 $D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$，则 $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=Dy$，$x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=D(D-1)y$。代入原方程得 $D(D-1)y+4Dy+2y=0$，即 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+3\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=0$。

特征方程 $r^2+3r+2=0$ 的根为 $r_1=-1,r_2=-2$，故 $y=C_1{\mathrm{e}}^{-t}+C_2{\mathrm{e}}^{-2t}$。回代 ${\mathrm{e}}^t=x$ 得通解 $y=\frac{C_1}{x}+\frac{C_2}{x^2}$。