2004 年考研数学（一） 第 3 题

对一段规则圆弧、被积函数又简单，参数化几乎总是首选，直接把曲线积分变成一元定积分。是否改用格林公式取决于补线是否省事：这里补两条坐标轴段，在轴上 $x$ 或 $y$ 为零会让多数项消失，也很方便。两条路都通。

分析：$L$ 是圆 $x^2+y^2=2$ 在第一象限的四分之一弧（从 $(\sqrt{2},0)$ 到 $(0,\sqrt{2})$），可用参数方程直接计算。

令 $x=\sqrt{2}\cos \theta ,y=\sqrt{2}\sin \theta$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi }{2}$，则 $\mathrm{d}x=-\sqrt{2}\sin \theta \mathrm{d}\theta$，$\mathrm{d}y=\sqrt{2}\cos \theta \mathrm{d}\theta$。

$x\mathrm{d}y=2{\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta$，$-2y\mathrm{d}x=-2\sqrt{2}\sin \theta \cdot (-\sqrt{2}\sin \theta )\mathrm{d}\theta =4{\sin }^2\theta \mathrm{d}\theta$，故被积表达式为 $2{\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta =2(1+{\sin }^2\theta )$。

${\int }_{L}x\mathrm{d}y-2y\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\pi /2}(1+{\sin }^2\theta )\mathrm{d}\theta =2\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3\pi }{2}$。

另解（格林公式）：补上线段 $\overline{OA}$、$\overline{BO}$ 使之封闭，$P=-2y,Q=x$，$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3$，$\oint =3{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y=3\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}$，而两直线段上的积分均为 $0$，结果相同。