2004 年考研数学（一） 第 2 题

障碍在于 $f^{\prime }$ 的自变量是复合式 ${\mathrm{e}}^x$ 而不是 $x$。看到 $f^{\prime }(\text{复合式})=\cdots$ 就应换元，把括号里的整体设成新变量，才能读出 $f^{\prime }$ 的真实表达式。定出 $f^{\prime }(x)$ 后就是标准的'积分 + 初值定常数'。

分析：先换元求出 $f^{\prime }(x)$ 的显式表达式，再积分求 $f(x)$，用 $f(1)=0$ 确定常数。

令 ${\mathrm{e}}^x=t$，则 $x=\ln t$，${\mathrm{e}}^{-x}=\frac{1}{t}$，于是 $f^{\prime }(t)=\ln t\cdot \frac{1}{t}=\frac{\ln t}{t}$，即 $f^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{x}$。

积分得 $f(x)=\int \frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x+C$。由 $f(1)=0$ 得 $C=0$，故 $f(x)=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x$。