2004 年考研数学（一） 第 1 题

这是'已知斜率反求切线'的问题。题目不直接给切点，而用'与 $x+y=1$ 垂直'间接确定切线斜率，所以突破口是先把几何条件（垂直）翻译成斜率条件，再用'导数 = 斜率'反解切点。凡切线题里出现平行或垂直，第一步都是先定斜率。

分析：切线斜率等于切点处的导数值；与直线 $x+y=1$（斜率 $-1$）垂直的直线，其斜率为 $1$。

设切点为 $(a,\ln a)$。由 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$，切线斜率为 $\frac{1}{a}$。令 $\frac{1}{a}=1$，得 $a=1$，切点为 $(1,0)$。

故切线方程为 $y-0=1\cdot (x-1)$，即 $y=x-1$。