2002 年考研数学（一） 第 17 题

本题妙在不必知道 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 的具体分量，只需把给定的线性关系翻译成方程组的解：列向量关系 ${\mathbf{\alpha }}_1-2{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3=0$ 直接就是 $\mathbf{Ax}=0$ 的一个解向量，而 $\mathbf{\beta }$ 的组合式直接给出一个特解。抓住 $\mathbf{Ax}$ 就是各列的线性组合这一观念即可。

分析：把 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 与 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{\beta }$ 都写成列向量的线性组合，利用已知的线性关系直接读出基础解系与特解。

由 ${\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 线性无关且 ${\mathbf{\alpha }}_1=2{\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3$，知 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 的秩为 $3$，即 $r(\mathbf{A})=3$。又 $\mathbf{\beta }$ 是各列的线性组合，故 $r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})=3<4$，方程组有解，且 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的基础解系含 $4-3=1$ 个向量。

求基础解系。 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 即 $x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+x_3{\mathbf{\alpha }}_3+x_4{\mathbf{\alpha }}_4=0$。由 ${\mathbf{\alpha }}_1-2{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3+0\cdot {\mathbf{\alpha }}_4=0$ 得非零解 $\mathbf{\xi }=(1,-2,1,0{)}^T$。

求特解。 由 $\mathbf{\beta }={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_4$ 知 $\mathbf{\eta }=(1,1,1,1{)}^T$ 满足 $\mathbf{A}\mathbf{\eta }=\mathbf{\beta }$。故通解为
$$\mathbf{x}=k(1,-2,1,0{)}^T+(1,1,1,1{)}^T(k\text{为任意常数}).$$