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2002 年考研数学（一）第 16 题

解答题 · 7 分

设有一小山，取它的底面所在的平面为

x O y

坐标面，其底部所占的区域为

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} - x y \leq 75}

，小山的高度函数为

h (x, y) = 75 - x^{2} - y^{2} + x y

。

(1) 设

M (x_{0}, y_{0})

为区域

D

上一点，问

h (x, y)

在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为

g (x_{0}, y_{0})

，试写出

g (x_{0}, y_{0})

的表达式；

(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在

D

的边界线

x^{2} + y^{2} - x y = 75

上找出使 (1) 中的

g (x, y)

达到最大值的点。试确定攀登起点的位置.

提示 1

(1) 方向导数何时最大？它沿梯度方向取最大，最大值等于梯度的模。先算

grad h

。

提示 2

(2) 要在边界

x^{2} + y^{2} - x y = 75

上最大化

g

，等价于最大化

g^{2}

（去根号更好算），这是带约束的极值问题。

提示 3

用拉格朗日乘数法对

g^{2} = 5 x^{2} + 5 y^{2} - 8 x y

加约束求驻点；把各组解都算出

g^{2}

比较，取最大者。

答案与详解

答案 $g (x_{0}, y_{0}) = 5 x_{0}^{2} + 5 y_{0}^{2} - 8 x_{0} y_{0}$ ；攀登起点为 $(5, - 5)$ 或 $(- 5, 5)$

思路（为什么这么做）

第一问是方向导数的基本性质（梯度方向最陡，其模即最大方向导数），直接给出

g = ∣ grad h ∣

。第二问识别为约束极值，标准工具是拉格朗日乘数法；技巧是对

g^{2}

而非

g

操作以避免根号，最后务必比较所有驻点处的函数值再下结论。

解答

分析：(1) 方向导数在梯度方向取最大值，最大值等于梯度的模；(2) 在约束

x^{2} + y^{2} - x y = 75

下对

g^{2}

用拉格朗日乘数法求最大值。

(1)

h

在

M

处沿梯度方向的方向导数最大，最大值为梯度的模。由

grad h = (\frac{\partial h}{\partial x}, \frac{\partial h}{\partial y}) = (- 2 x + y, x - 2 y),

得

grad h_{M} = (y_{0} - 2 x_{0}, x_{0} - 2 y_{0})

，故

g (x_{0}, y_{0}) = (y_{0} - 2 x_{0})^{2} + (x_{0} - 2 y_{0})^{2} = 5 x_{0}^{2} + 5 y_{0}^{2} - 8 x_{0} y_{0} .

(2) 即求

g^{2} (x, y) = 5 x^{2} + 5 y^{2} - 8 x y

在约束

x^{2} + y^{2} - x y - 75 = 0

下的最大值。作

F = 5 x^{2} + 5 y^{2} - 8 x y + λ (x^{2} + y^{2} - x y - 75)

，令

⎩ ⎨ ⎧ F_{x} = 10 x - 8 y + λ (2 x - y) = 0, F_{y} = 10 y - 8 x + λ (2 y - x) = 0, x^{2} + y^{2} - x y = 75.

前两式相加得

(x + y) (λ + 2) = 0

，故

y = - x

或

λ = - 2

。

当

y = - x

：代入约束

3 x^{2} = 75

得

x = \pm 5

，对应点

(5, - 5), (- 5, 5)

，此时

g^{2} = 450

，

g = 152

。

当

λ = - 2

：由第一式得

y = x

，代入约束

x^{2} = 75

得点

(53, 53), (- 53, - 53)

，此时

g^{2} = 150

，

g = 56

。

比较

152 > 56

，知

g

在边界上的最大值在

(5, - 5)

与

(- 5, 5)

取得。攀登起点可取 $(5, - 5)$ 或 $(- 5, 5)$ 。

考点：方向导数与梯度、条件极值与拉格朗日乘数法

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