2002 年考研数学（一） 第 15 题

核心思想是级数与微分方程互相利用：第一问通过错位逐项求导，发现三个级数相加正好并成 $e^x$；第二问反过来，把待求和函数视为该 ODE 的解，用常规解法求通解，再借级数本身提供的初值 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ 锁定唯一解。

分析：(1) 逐项求导后三个级数相加恰好补全所有幂次得到 $e^x$；(2) 由此把和函数看成该微分方程满足特定初值的解。

(1) 该幂级数收敛半径 $R=+\infty$，可逐项求导：
$$y^{\prime }=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +\frac{x^{3n-1}}{(3n-1)!}+\cdots ,y^{\prime \prime }=x+\frac{x^4}{4!}+\cdots +\frac{x^{3n-2}}{(3n-2)!}+\cdots .$$
三式相加，各幂次 $\frac{x^k}{k!}$ 恰好不重不漏地出现：
$$y^{\prime \prime }+y^{\prime }+y=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}=e^x.$$

(2) 记和函数为 $y(x)$，则它满足 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }+y=e^x$。对应齐次方程特征方程 ${\lambda }^2+\lambda +1=0$，根 ${\lambda }_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$，齐次通解为 $e^{-x/2}\left(C_1\cos \frac{\sqrt{3}}{2}x+C_2\sin \frac{\sqrt{3}}{2}x\right)$。又 $y^{\ast }=\frac{1}{3}{e}^x$ 为一特解，故通解
$$y=e^{-x/2}\left(C_1\cos \frac{\sqrt{3}}{2}x+C_2\sin \frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+\frac{1}{3}{e}^x.$$

由级数知初值 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$，代入定出 $C_1=\frac{2}{3},C_2=0$。故
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{(3n)!}=\frac{2}{3}{e}^{-x/2}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{3}{e}^x(-\infty <x<+\infty ).$$