2002 年考研数学（一） 第 18 题

三问层层递进。(1) 是相似的直接推论，靠行列式的乘法性质。(2) 的关键洞察是特征多项式只看特征值、管不住是否可对角化，故取零矩阵与幂零矩阵作反例。(3) 补上实对称必可对角化这一前提，特征值相同就意味着相似于同一 $\mathbf{\Lambda }$，逆命题借传递性成立。

分析：(1) 用相似定义 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$ 直接计算特征多项式；(2) 找特征多项式相同但秩不同的两个矩阵；(3) 实对称矩阵可对角化，特征值相同即相似于同一对角阵。

(1) 设 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$。于是
$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}|=|\lambda \mathbf{E}-{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}|=|{\mathbf{P}}^{-1}(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{P}|=|{\mathbf{P}}^{-1}||\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}||\mathbf{P}|=|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|,$$
即两者特征多项式相等。

(2) 取 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$。二者特征多项式都是 ${\lambda }^2$，但 $r(\mathbf{A})=0\ne 1=r(\mathbf{B})$，故不相似。可见特征多项式相等推不出相似，逆命题一般不成立。

(3) 设 ${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A},{\mathbf{B}}^T=\mathbf{B}$ 且 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}|$，则 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 有相同特征值 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$。实对称矩阵必可对角化，存在可逆矩阵 ${\mathbf{P}}_1,{\mathbf{P}}_2$ 使 ${\mathbf{P}}_1^{-1}\mathbf{A}{\mathbf{P}}_1=\mathbf{\Lambda }={\mathbf{P}}_2^{-1}\mathbf{B}{\mathbf{P}}_2$，其中 $\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$。令 $\mathbf{P}={\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2^{-1}$，则 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$，即 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，逆命题成立。