2002 年考研数学（一） 第 19 题

识别结构最重要：把 重复观察、数成功次数 认成二项分布 $B(4,p)$，其中 $p$ 由密度积分得到。求 $E(Y^2)$ 时不要硬算分布列，而用方差与期望的关系 $E(Y^2)=D(Y)+[E(Y){]}^2$，对二项分布 $E,D$ 有现成公式，最省力。

分析：每次观察“值大于 $\frac{\pi }{3}$”是一个伯努利试验，$Y$ 服从二项分布；再用 $E(Y^2)=D(Y)+[E(Y){]}^2$。

单次成功概率
$$p=P\{X>\frac{\pi }{3}\}={\int }_{\pi /3}^{\pi }\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}\mathrm{d}x={\left[\sin \frac{x}{2}\right]}_{\pi /3}^{\pi }=\sin \frac{\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{6}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$
$4$ 次独立观察，故 $Y\sim B\left(4,\frac{1}{2}\right)$。

由二项分布 $E(Y)=4\cdot \frac{1}{2}=2,D(Y)=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=1$，从而
$$E(Y^2)=D(Y)+[E(Y){]}^2=1+2^2=5.$$