2002 年考研数学（一） 第 20 题

两种估计各有固定套路。矩估计把 $E(X)=3-4\theta$ 与样本均值对齐，一步解出。最大似然则先按样本频数拼出 $L(\theta )$，取对数化乘为和便于求导，令导数为零得关于 $\theta$ 的二次方程；最后用参数范围 $0<\theta <\frac{1}{2}$ 筛掉增根，这是极大似然题最易失分之处。

分析：矩估计令总体一阶矩 $E(X)$ 等于样本均值；最大似然估计写出似然函数取对数求极值。

矩估计。 $E(X)=0\cdot {\theta }^2+1\cdot 2\theta (1-\theta )+2\cdot {\theta }^2+3(1-2\theta )=3-4\theta$。样本均值
$$\bar{x}=\frac{3+1+3+0+3+1+2+3}{8}=2.$$
令 $E(X)=\bar{x}$，即 $3-4\theta =2$，解得矩估计值 $\hat{\theta }=\frac{1}{4}$。

最大似然估计。 样本中 $0,1,2,3$ 分别出现 $1,2,1,4$ 次，似然函数
$$L(\theta )={\theta }^2\cdot [2\theta (1-\theta ){]}^2\cdot {\theta }^2\cdot (1-2\theta {)}^4=4{\theta }^6(1-\theta {)}^2(1-2\theta {)}^4.$$
取对数 $\ln L=\ln 4+6\ln \theta +2\ln (1-\theta )+4\ln (1-2\theta )$。

令 $\frac{\mathrm{d}\ln L}{\mathrm{d}\theta }=\frac{6}{\theta }-\frac{2}{1-\theta }-\frac{8}{1-2\theta }=0$，化简得 $12{\theta }^2-14\theta +3=0$，解得 $\theta =\frac{7\pm \sqrt{13}}{12}$。因 $\frac{7+\sqrt{13}}{12}>\frac{1}{2}$ 不合 $0<\theta <\frac{1}{2}$ 而舍去，故最大似然估计值 $\hat{\theta }=\frac{7-\sqrt{13}}{12}$。