2001 年考研数学（一） 第 18 题

第(1)问把 $A=PB{P}^{-1}$ 改写成 $AP=PB$ 后思路就通了：$A$ 作用到 $P$ 的三列分别得 $A\mathbf{x},A^2\mathbf{x},A^3\mathbf{x}$，前两者已是基向量，而 $A^3\mathbf{x}$ 用题给关系式在基 $\mathbf{x},A\mathbf{x},A^2\mathbf{x}$ 下的坐标 $(0,3,-2{)}^{\top }$ 补上，这三组坐标按列拼成的就是 $B$（一个友矩阵）。第(2)问不必求出 $A$：由相似关系 $A,B$ 特征值相同，先从 $B$ 求出特征值 $-3,0,1$，再用「$A+E$ 的特征值 = $A$ 的特征值 $+1$」及行列式等于特征值之积得 $|A+E|$。

分析：把 $A$ 作用于 $P$ 的各列，用已知关系表出 $A^3\mathbf{x}$，得 $AP=PB$；再由 $B$（与 $A$ 相似）的特征值算 $|A+E|$。

（1） 由 $A^3\mathbf{x}=3A\mathbf{x}-2A^2\mathbf{x}$，得
$$AP=(A\mathbf{x},A^2\mathbf{x},A^3\mathbf{x})=(A\mathbf{x},A^2\mathbf{x},3A\mathbf{x}-2A^2\mathbf{x})=(\mathbf{x},A\mathbf{x},A^2\mathbf{x})\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 3\\ 0& 1& -2\end{array}\right)=PB.$$

因 $\mathbf{x},A\mathbf{x},A^2\mathbf{x}$ 线性无关，故 $P$ 可逆，从而 $A=PB{P}^{-1}$，其中 $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 3\\ 0& 1& -2\end{array}\right).$

（2） $A$ 与 $B$ 相似，特征值相同。由
$$|\lambda E-B|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ -1& \lambda & -3\\ 0& -1& \lambda +2\end{array}\right|=\lambda (\lambda +3)(\lambda -1)=0,$$
得特征值 ${\lambda }_1=-3,{\lambda }_2=0,{\lambda }_3=1.$

于是 $A$ 的特征值为 $-3,0,1$，从而 $A+E$ 的特征值为 $-2,1,2$，故 $|A+E|=(-2)\times 1\times 2=-4.$