2001 年考研数学（一） 第 17 题

要判断 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$ 是否也是基础解系，先做「减法」：它们个个是原方程组的解、且个数正好等于基础解系应有的个数，所以三要素里只剩「线性无关」待验证。把 $\beta$ 组用 $\alpha$ 组线性表示写成 $\beta =\alpha C$，由 $\alpha$ 组无关知 $\beta$ 组无关等价于系数矩阵 $C$ 可逆，即 $\det C\ne 0$。$C$ 是循环型矩阵，沿第一列展开得 $\det C=t_1^s+(-1{)}^{s+1}{t}_2^s$，再按 $s$ 奇偶给出 $t_1,t_2$ 的条件。

分析：${\beta }_i$ 都是 $A\mathbf{x}=0$ 的解，且个数与基础解系相同，故只需它们线性无关。把 $({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s)=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s)C$，转化为系数矩阵 $C$ 可逆（行列式非零）。

因 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$ 是基础解系，故线性无关；由齐次方程组解的结构，${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s$ 仍是 $A\mathbf{x}=0$ 的解。于是它们构成基础解系 $⟺{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s$ 线性无关。

写成矩阵形式 $({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)C$，其中
$$C={\left(\begin{array}{ccccc}{t}_1& 0& 0& \cdots & t_2\\ t_2& t_1& 0& \cdots & 0\\ 0& t_2& t_1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & t_1\end{array}\right)}_{s\times s}.$$

由于 $\alpha$ 组线性无关，$\beta$ 组线性无关 $⟺\det C\ne 0$。按第一列（或第一行）展开得 $\det C=t_1^s+(-1{)}^{s+1}{t}_2^s.$

故当 $t_1^s+(-1{)}^{s+1}{t}_2^s\ne 0$ 时，${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s$ 为 $A\mathbf{x}=0$ 的基础解系。具体地：当 $s$ 为偶数时须 $t_1\ne \pm t_2$；当 $s$ 为奇数时须 $t_1\ne -t_2$。