2001 年考研数学（一） 第 16 题

这是「几何量 + 变化率」型应用题，核心是把物理表述翻成微分方程。第一步靠重积分与曲面积分把体积 $V$、侧面积 $S$ 都表示成高 $h(t)$ 的函数；第二步把题意「体积减少速率与侧面积成正比」写成 $\frac{dV}{dt}=-0.9S$，并注意 $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot h^{\prime }(t)$。代入后含 $h$ 的因子恰好约去，得到极简的 $h^{\prime }(t)=$ 常数，于是 $h$ 线性下降，配合初值 $h(0)=130$ 令 $h=0$ 便得融化所需时间。

分析：先用重积分求出体积 $V(t)$ 与侧面积 $S(t)$，再由「体积减少速率 $=0.9S$」建立并求解微分方程得 $h(t)$。

体积：曲面与 $z=0$ 的交线为 $x^2+y^2=\frac{h^2(t)}{2}$。按 $z$ 切片，截面圆 $x^2+y^2\le \frac{h^2(t)-h(t)z}{2}$，故
$$V(t)={\int }_0^{h(t)}{\iint }_{x^2+y^2\le \frac{h^2(t)-h(t)z}{2}}dxdydz=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{h(t)}[h^2(t)-h(t)z]dz=\frac{\pi h^3(t)}{4}.$$

侧面积：由 $z=h(t)-\frac{2(x^2+y^2)}{h(t)}$ 得 $1+z_x^2+z_y^2=1+\frac{16(x^2+y^2)}{h^2(t)}$，故
$$S(t)={\iint }_{x^2+y^2\le \frac{h^2(t)}{2}}\sqrt{1+\frac{16(x^2+y^2)}{h^2(t)}}dxdy={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{h(t)/\sqrt{2}}r\sqrt{1+\frac{16r^2}{h^2(t)}}dr=\frac{13\pi h^2(t)}{12}.$$

建立微分方程：由题意 $\frac{dV}{dt}=-0.9S(t)$，而 $\frac{dV}{dt}=\frac{3\pi h^2(t)}{4}{h}^{\prime }(t)$，代入化简得 $\frac{3\pi h^2}{4}{h}^{\prime }(t)=-0.9\cdot \frac{13\pi h^2}{12}$，即 $h^{\prime }(t)=-\frac{13}{10}.$

解得 $h(t)=-\frac{13}{10}t+C$，由 $h(0)=130$ 得 $C=130$，即 $h(t)=-\frac{13}{10}t+130$。令 $h(t)=0$ 得 $t=100$。故高度为 $130$ 厘米的雪堆经过 $100$ 小时 全部融化。