2001 年考研数学（一） 第 15 题

第(1)问要证的等式 $f(x)=f(0)+x{f}^{\prime }(\theta x)$ 本身就是拉格朗日中值定理在 $[0,x]$ 上的形式，存在性直接得；唯一性则要用上条件 $f^{\prime \prime }\ne 0$——它保证 $f^{\prime }$ 严格单调（单射），所以取到同一导数值的中间点只能有一个。第(2)问求极限的思路是「同一 $f(x)$ 两种展开对照」：把中值等式与带拉格朗日余项的二阶泰勒公式并列，解出 $\theta (x)$ 的关系式，令 $x\to 0$ 时用 $f^{\prime \prime }$ 连续且 $f^{\prime \prime }(0)\ne 0$ 约去公因子，逼出极限 $\frac{1}{2}$。

分析：(1) 用拉格朗日中值定理得 $\theta (x)$ 的存在性，再由 $f^{\prime \prime }\ne 0\Rightarrow f^{\prime }$ 严格单调证唯一性；(2) 用带拉格朗日余项的泰勒公式与中值等式联立后取极限。

（1） 由拉格朗日中值定理，对 $x\ne 0$，存在 $\theta (x)\in (0,1)$，使 $f(x)-f(0)=f^{\prime }(\theta (x)x)\cdot x$，即 $f(x)=f(0)+x{f}^{\prime }(\theta (x)x)$。

唯一性：设 ${\theta }_1(x),{\theta }_2(x)\in (0,1)$ 都满足该式，两式相减得 $x[f^{\prime }({\theta }_1(x)x)-f^{\prime }({\theta }_2(x)x)]=0$。因 $x\ne 0$，故 $f^{\prime }({\theta }_1(x)x)=f^{\prime }({\theta }_2(x)x)$。又 $f^{\prime \prime }$ 连续且 $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$，故 $f^{\prime \prime }$ 不变号，$f^{\prime }$ 严格单调，于是 ${\theta }_1(x)x={\theta }_2(x)x$，即 ${\theta }_1(x)={\theta }_2(x)$。存在且唯一。

（2） 由泰勒公式 $f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2!}{x}^2$（$\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间）。与 $f(x)=f(0)+x{f}^{\prime }(\theta (x)x)$ 比较得 $x{f}^{\prime }(\theta (x)x)=f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}{x}^2$，即
$$\frac{f^{\prime }(\theta (x)x)-f^{\prime }(0)}{\theta (x)x}\cdot \theta (x)=\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}.$$

当 $x\to 0$ 时 $\theta (x)x\to 0$，$\xi \to 0$。上式左端第一因子 $\to f^{\prime \prime }(0)$，右端 $\to \frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}$，故 $f^{\prime \prime }(0)\underset{x\to 0}{\lim }\theta (x)=\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}$。因 $f^{\prime \prime }(0)\ne 0$，得 $\underset{x\to 0}{\lim }\theta (x)=\frac{1}{2}.$