2001 年考研数学（一） 第 14 题

被积对象是空间闭曲线上的第二类曲线积分，且曲线是「平面 $\cap$ 柱面」的交线、直接参数化很麻烦，这正是斯托克斯公式的用武之地——把线积分转成它所张平面片上的曲面积分。因所在平面 $x+y+z=2$ 的法向量是常向量 $(1,1,1)$，旋度点乘后被积函数变简单；再在 $\Sigma$ 上用 $z=2-x-y$ 代换，并利用投影正方形 $|x|+|y|\le 1$ 关于坐标轴的对称性把 $x,y$ 的奇次项积成 $0$，最后只剩常数乘面积。

分析：空间闭曲线上的第二类曲线积分，用斯托克斯公式化为所张平面区域上的第一类曲面积分。

取 $L$ 所围平面 $x+y+z=2$ 上的部分为 $\Sigma$，按右手法则取上侧，其法向量方向数为 $\mathbf{n}=(1,1,1)$，方向余弦 $\cos \alpha =\cos \beta =\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{3}}.$

由斯托克斯公式
$$I={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ y^2-z^2& 2z^2-x^2& 3x^2-y^2\end{array}\right|dS=\frac{1}{\sqrt{3}}{\iint }_{\Sigma }[(-2y-4z)+(-2z-6x)+(-2x-2y)]dS=-\frac{2}{\sqrt{3}}{\iint }_{\Sigma }(4x+2y+3z)dS.$$

在 $\Sigma$ 上 $z=2-x-y$，故 $4x+2y+3z=x-y+6$，于是 $I=-\frac{2}{\sqrt{3}}{\iint }_{\Sigma }(x-y+6)dS$。投影区域 $D:|x|+|y|\le 1$ 关于 $x$、$y$ 对称，故 ${\iint }_{\Sigma }(x-y)dS=0.$

从而 $I=-\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 6{\iint }_{\Sigma }dS=-\frac{12}{\sqrt{3}}{\iint }_D\sqrt{3}d\sigma =-12S_D$。$D$ 为对角线长均为 $2$ 的正方形，面积 $S_D=2$，故 $I=-12\times 2=-24.$