2001 年考研数学（一） 第 13 题

展开的突破口是 $\arctan x$：它的导数 $\frac{1}{1+x^2}$ 是熟知的几何级数，逐项积分即得 $\arctan x$ 的幂级数。再把 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+x\right)\arctan x$ 乘开、移位并合并同次幂，中间恰出现 $\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{2}{1-4n^2}$，这正对应待求级数的通项。于是求 $\sum \frac{(-1{)}^n}{1-4n^2}$ 只需在展开式里代入一个使 $f$ 能直接算的点 $x=1$，把 $f(1)=\frac{\pi }{2}$ 与展开式联立即可。

分析：先展开 $\arctan x$，再乘以 $\frac{1+x^2}{x}$ 并合并同次幂；最后令 $x=1$ 求数项级数之和。

由 $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}(-1<x<1)$，逐项积分得
$$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}(-1\le x\le 1).$$

当 $x\ne 0$ 时，$f(x)=\left(\frac{1}{x}+x\right)\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+2}.$

第一个和取出 $n=0$ 的常数项 $1$，第二个和作指标移位后合并：
$$f(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{(-1{)}^n}{2n+1}+\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}\right]x^{2n}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{1-4n^2}{x}^{2n}(-1\le x\le 1),$$
其中用到 $\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{-2}{4n^2-1}=\frac{2}{1-4n^2}$。该式在 $x=0$ 处取值 $1$，与定义一致。

令 $x=1$：$f(1)=\frac{1+1}{1}\arctan 1=\frac{\pi }{2}$，代入得 $\frac{\pi }{2}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{1-4n^2}$，故
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{1-4n^2}=\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}-1)=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}.$$