2001 年考研数学（一） 第 12 题

这是「外层幂函数 + 内层多元复合」的两层求导题，先剥外层：$({\phi }^3{)}^{\prime }=3{\phi }^2{\phi }^{\prime }$，把问题化为求 $\phi (1)$ 和 ${\phi }^{\prime }(1)$。求 ${\phi }^{\prime }$ 时关键是认清 $\phi (x)=f(x,f(x,x))$ 中 $x$ 有两条影响路径——直接作为第一自变量、以及通过内层 $f(x,x)$ 影响第二自变量，故按多元链式法则展开为 $f_1^{\prime }+f_2^{\prime }\cdot (f_1^{\prime }+f_2^{\prime })$。最后所有偏导都在同一点 $(1,1)$ 取值代入即可。

分析：先对 ${\phi }^3$ 求导得 $3{\phi }^2{\phi }^{\prime }$，再用多元复合函数的链式法则求 ${\phi }^{\prime }(1)$。

$\frac{d}{dx}{\phi }^3(x)=3{\phi }^2(x){\phi }^{\prime }(x)$，其中 $\phi (1)=f(1,f(1,1))=f(1,1)=1.$

对 $\phi (x)=f(x,f(x,x))$ 求导（记 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 为 $f$ 对第一、第二变量的偏导）：
$${\phi }^{\prime }(x)=f_1^{\prime }(x,f(x,x))+f_2^{\prime }(x,f(x,x))\cdot [f_1^{\prime }(x,x)+f_2^{\prime }(x,x)].$$

在 $x=1$ 处，$f(1,1)=1$，$f_1^{\prime }(1,1)=2,f_2^{\prime }(1,1)=3$，故
$${\phi }^{\prime }(1)=f_1^{\prime }(1,1)+f_2^{\prime }(1,1)\cdot [f_1^{\prime }(1,1)+f_2^{\prime }(1,1)]=2+3\times (2+3)=17.$$

所以 ${\frac{d}{dx}{\phi }^3(x)|}_{x=1}=3{\phi }^2(1){\phi }^{\prime }(1)=3\times 1\times 17=51.$