2001 年考研数学（一） 第 11 题

这道积分的三步都由被积结构提示出来：$e^x$ 反复出现且 $\arctan$ 里也是 $e^x$，自然令 $t=e^x$ 把它变成 $\frac{\arctan t}{t^3}$ 这类「有理式 $\times$ 反三角」的积分；反三角与幂相乘的标配手法是分部积分，且让 $\arctan t$ 求导（导数 $\frac{1}{1+t^2}$ 是有理式，好继续处理），故凑 $d(t^{-2})$；分部后余下纯有理积分 $\frac{1}{t^2(1+t^2)}$，用部分分式拆成两项立得，最后回代变量。

分析：令 $t=e^x$ 化为有理函数与 $\arctan$ 之积的积分，分部积分后再作部分分式分解。

令 $t=e^x$，则 $dt=e^{x}dx=tdx$，于是
$$\int \frac{\arctan e^x}{e^{2x}}dx=\int \frac{\arctan t}{t^3}dt=-\frac{1}{2}\int \arctan td\left(t^{-2}\right).$$

分部积分：
$$=-\frac{1}{2t^2}\arctan t+\frac{1}{2}\int \frac{t^{-2}}{1+t^2}dt=-\frac{1}{2t^2}\arctan t+\frac{1}{2}\int \frac{1}{t^2(1+t^2)}dt.$$

由 $\frac{1}{t^2(1+t^2)}=\frac{1}{t^2}-\frac{1}{1+t^2}$，得
$$=-\frac{1}{2t^2}\arctan t-\frac{1}{2t}-\frac{1}{2}\arctan t+C.$$

回代 $t=e^x$：
$$\int \frac{\arctan e^x}{e^{2x}}dx=-\frac{\arctan e^x}{2e^{2x}}-\frac{1}{2e^x}-\frac{1}{2}\arctan e^x+C.$$