2001 年考研数学（一） 第 10 题

相关系数题若能看出两变量是严格线性关系，就不必真去算协方差和方差。本题的题眼是「正面数 $+$ 反面数 $=$ 总次数」，即 $X+Y=n$ 恒成立，于是 $Y=-X+n$ 是 $X$ 的一次函数。而随机变量间存在确定的线性关系时 $|\rho |=1$，斜率为正取 $+1$、为负取 $-1$；这里斜率 $-1<0$，故相关系数为 $-1$。

分析：注意到 $X+Y=n$ 为常数，$Y$ 是 $X$ 的（负斜率）线性函数。

由 $X+Y=n$ 得 $Y=-X+n$，故 $D(Y)=D(X)$，$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,-X+n)=-\mathrm{Cov}(X,X)=-D(X).$

于是 ${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}=\frac{-D(X)}{D(X)}=-1$。（也可直接由 $P\{Y=-X+n\}=1$ 且斜率 $-1<0$ 得 ${\rho }_{XY}=-1$。）应选 A。