2001 年考研数学（一） 第 9 题

判定两矩阵是否合同/相似，先看它们是不是实对称——本题 $A,B$ 都是，于是可动用最省事的判据：实对称阵相似 $⟺$ 特征值相同，合同 $⟺$ 正负惯性指数相同，二者最终都落到「求 $A$ 的特征值」。而 $A$ 是全 $1$ 矩阵，秩为 $1$、迹为 $4$，不用解特征多项式就知特征值是 $4,0,0,0$，与 $B$ 完全一致，故既相似又合同。

分析：$A,B$ 均为实对称矩阵。两个实对称矩阵相似 $⟺$ 特征值相同；合同 $⟺$ 正、负惯性指数（即正、负特征值的个数）相同。

由 $|\lambda E-A|=0$ 求 $A$ 的特征值：$A$ 的秩为 $1$、迹为 $4$，故特征值为 ${\lambda }_1=4,{\lambda }_2={\lambda }_3={\lambda }_4=0$。

$B$ 显然的特征值也是 $4,0,0,0$。二者特征值完全相同，且都是实对称矩阵，故 $A$ 与 $B$ 既相似又合同，应选 A。