2001 年考研数学（一） 第 8 题

判断「可导的充要条件」，核心是把每个极限还原成导数定义 $\frac{f(u)-f(0)}{u}$ 的样子，再检验它与 $f^{\prime }(0)$ 存在是否真正等价。两个致命细节：一是内层增量 $u$ 必须能取到 $0$ 的两侧（否则只得到单侧导数，如 $1-\cos h\ge 0$）；二是配平时乘出的附加因子必须是非零有限常数（若像 $\frac{h-\sin h}{h^2}\to 0$ 那样退化，就会把不可导也「洗」成极限存在）。逐项按这两点筛，只有 $1-e^h$ 那一项双侧且因子 $\to -1$，故等价。

分析：$f(x)$ 在 $x=0$ 可导 $⟺\underset{u\to 0}{\lim }\frac{f(u)-f(0)}{u}=f^{\prime }(0)$（双侧极限）存在。逐项分析。

(A) 错：$h\to 0$ 时 $1-\cos h\to 0^{+}$ 恒为正，$\frac{f(1-\cos h)}{h^2}=\frac{f(1-\cos h)-f(0)}{1-\cos h}\cdot \frac{1-\cos h}{h^2}\to \frac{1}{2}{f}_{+}^{\prime }(0)$，只能推出右导数存在，非充要。

(C) 错：$\frac{f(h-\sin h)}{h^2}=\frac{f(h-\sin h)-f(0)}{h-\sin h}\cdot \frac{h-\sin h}{h^2}$，而 $\frac{h-\sin h}{h^2}\to 0$，故此极限存在不能保证 $\frac{f(h-\sin h)-f(0)}{h-\sin h}$ 有极限，非充要。

(D) 错：取 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\ne 0\\ 2,& x=0\end{array}$，则 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2h)-f(h)}{h}=1$ 存在，但此 $f$ 在 $x=0$ 不连续、从而不可导，非充要。

(B) 对：$h\to 0$ 时 $1-e^h\to 0$ 且左右两侧取值，$\frac{f(1-e^h)}{h}=\frac{f(1-e^h)-f(0)}{1-e^h}\cdot \frac{1-e^h}{h}$，其中 $\frac{1-e^h}{h}\to -1$，故该极限存在 $⟺\underset{u\to 0}{\lim }\frac{f(u)-f(0)}{u}$ 存在 $⟺f^{\prime }(0)$ 存在。这是充要条件，应选 B。