2001 年考研数学（一） 第 7 题

本题四个选项里 (A)(B) 都暗含「$f$ 可微」这一前提，但题目只给了偏导数存在——而偏导存在推不出可微，这是最大的考点与陷阱，故先把依赖可微性的选项排除。真正稳妥的是 (C)(D) 里那条平面曲线：把 $y=0$ 代入、以 $x$ 为参数写成 $(x,0,f(x,0))$，其切向量 $(1,0,f_x^{\prime })$ 只需要对 $x$ 的偏导（它确实存在），在原点代入 $f_x^{\prime }(0,0)=3$ 即得方向 $(1,0,3)$。

分析：偏导数存在只是可微的必要条件，不能保证全微分成立与法向量的形式；曲线的切向量需由曲线的参数化确定。

(A) 错：函数可偏导不一定可微，因而 ${dz|}_{(0,0)}=3dx+dy$ 未必成立。(B) 错：只有当 $f$ 可微时曲面 $z=f(x,y)$ 的法向量才为 $(f_x^{\prime },f_y^{\prime },-1)=(3,1,-1)$，与所给不符。

曲线 $\{\begin{array}{l}z=f(x,y)\\ y=0\end{array}$ 可参数化为 $x=x,y=0,z=f(x,0)$，其切向量为 $(1,0,f_x^{\prime }(x,0))$；在原点取 $f_x^{\prime }(0,0)=3$，得切向量方向为 $(1,0,3)$。

故该曲线在 $(0,0,f(0,0))$ 处的切向量为 $(1,0,3)$，应选 C。