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2001 年考研数学（一）第 6 题

选择题 · 3 分

设函数

f (x)

在定义域内可导，

y = f (x)

的图形如下图所示，则导函数

y = f^{'} (x)

的图形为（　　）

A（图形）在 $x < 0$ 时曲线有一段位于 $x$ 轴下方（即 $f^{'} < 0$ ），在 $y$ 轴左侧升向 $+ \infty$ ；在 $x > 0$ 时曲线自下方升起穿过 $x$ 轴，形成一个正的驼峰后回落到 $x$ 轴附近。
B（图形）在 $x < 0$ 时曲线全在 $x$ 轴上方并升向 $+ \infty$ ；但在 $x = 0$ 的右邻域内曲线位于 $x$ 轴下方（即 $f^{'} < 0$ ），之后才升起一个正的驼峰。
C（图形）在 $x < 0$ 时曲线有一段位于 $x$ 轴下方；在 $y$ 轴右侧曲线由正的峰值下降穿过 $x$ 轴到一个负的极小后再回升。
D（图形）在 $x < 0$ 时曲线全在 $x$ 轴上方（ $f^{'} \geq 0$ ）；在 $x = 0$ 的右邻域内也位于 $x$ 轴上方（ $f^{'} \geq 0$ ），随后下降穿过 $x$ 轴到一个负的极小，再单调上升。

提示 1

导函数的正负由原函数的单调性决定：

f

增则

f^{'} \geq 0

（图在

x

轴上方），

f

减则

f^{'} < 0

。

提示 2

分区间看

f

的升降：先盯

x < 0

一整段，再盯

x = 0

右侧那一小段，据此判断

f^{'}

的符号。

提示 3

用「某区间上

f^{'}

应为正/负」逐一排除与之矛盾的选项，注意间断点附近的符号也要对上。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

由

f

的图选

f^{'}

的图，不必真的求导，抓「符号对应单调性」这一条就够：

f

上升处

f^{'} \geq 0

、图像在

x

轴上方，

f

下降处

f^{'} < 0

、图像在下方。做法是挑几个符号最好判断的区间（本题是

x < 0

全段单增、以及

0

的右邻域单增）当作「筛子」，凡在这些区间里

f^{'}

符号画错的选项一律淘汰，剩下的就是答案。

解答

分析：由

y = f (x)

的单调性确定

f^{'} (x)

的正负号，逐一排除。

当

x < 0

时，

f (x)

单调增加，故

f^{'} (x) \geq 0

，其图形应在

x

轴上方，这排除了在

x < 0

处取负值的 (A)、(C)。

在

x = 0

的右邻域内，

f (x)

单调增加，故

f^{'} (x) \geq 0

，图形应在

x

轴上方，这排除了在

0^{+}

附近取负值的 (B)。

综上，应选 D。

考点：函数的单调性与极值、导数与微分的概念

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