2001 年考研数学（一） 第 19 题

这是「随机个数的独立试验」模型：在总人数 $X=n$ 已知的条件下，每位乘客下车与否是独立的两点试验，故下车人数的条件分布必为二项分布 $B(n,p)$，这就是第(1)问。第(2)问求联合分布，用乘法公式把「先有多少人上车（泊松）」与「其中多少人下车（条件二项）」两步相乘 $P\{X=n\}P\{Y=m\mid X=n\}$，注意 $m$ 不能超过 $n$。

分析：给定 $X=n$ 时，下车人数 $Y$ 服从二项分布 $B(n,p)$；再用乘法公式 $P\{X=n,Y=m\}=P\{X=n\}P\{Y=m\mid X=n\}$。

（1） 在 $X=n$ 的条件下，$n$ 位乘客各自独立地以概率 $p$ 中途下车，故下车人数 $Y\sim B(n,p)$：
$$P\{Y=m\mid X=n\}=C_n^m{p}^m(1-p{)}^{n-m},0\le m\le n.$$

（2） $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，其分布律为 $P\{X=n\}=\frac{{\lambda }^n}{n!}{e}^{-\lambda }(n=0,1,2,\cdots )$。由乘法公式，
$$P\{X=n,Y=m\}=P\{X=n\}P\{Y=m\mid X=n\}=C_n^m{p}^m(1-p{)}^{n-m}\frac{{\lambda }^n}{n!}{e}^{-\lambda },0\le m\le n,n=0,1,2,\cdots .$$