2001 年考研数学（一） 第 20 题

直接展开平方求 $E(Y)$ 会很繁，聪明的做法是「换元凑成标准抽样统计量」：令 $Y_i=X_i+X_{n+i}$，则 $Y_i$ 独立同服从 $N(2\mu ,2{\sigma }^2)$，且 $2\bar{X}$ 正好是这批 $Y_i$ 的样本均值 $\bar{Y}$，于是 $Y$ 变成 $Y_i$ 的偏差平方和 $\sum (Y_i-\bar{Y}{)}^2$。再套用正态样本的抽样分布定理 $\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum (Y_i-\bar{Y}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$，由 ${\chi }^2(n-1)$ 的期望为 $n-1$ 立得 $E(Y)=2(n-1){\sigma }^2$。

分析：令 $Y_i=X_i+X_{n+i}$，则 $Y_1,\cdots ,Y_n$ 是来自正态总体 $N(2\mu ,2{\sigma }^2)$ 的简单随机样本，而 $Y$ 恰为其偏差平方和，用 ${\chi }^2$ 分布的结论求期望。

令 $Y_i=X_i+X_{n+i}(1\le i\le n)$。因 $X_1,\cdots ,X_{2n}$ 相互独立且同服从 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，故 $Y_i\sim N(2\mu ,2{\sigma }^2)$，且 $Y_1,\cdots ,Y_n$ 相互独立，构成来自 $N(2\mu ,2{\sigma }^2)$ 的简单随机样本。

其样本均值 $\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i+X_{n+i})=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{2n}{X}_i=2\bar{X}$。于是
$$Y=\sum _{i=1}^n(X_i+X_{n+i}-2\bar{X}{)}^2=\sum _{i=1}^n(Y_i-\bar{Y}{)}^2.$$

由抽样分布定理，$\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(Y_i-\bar{Y}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$，其期望为 $n-1$，即 $E\left[\frac{1}{2{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y}{)}^2\right]=n-1.$

故 $E(Y)=2{\sigma }^2(n-1)=2(n-1){\sigma }^2.$