1999 年考研数学（一） 第 7 题

分段点处判可导 / 连续，最稳的办法是直接用定义算左、右导数，而不是先猜连续性。右支 $\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}$ 的差商约为 $\frac{\sqrt{x}}{2}\to 0$，左支 $x^{2}g(x)$ 因 $g$ 有界差商也 $\to 0$。左右导数都为 $0$ 且相等，直接得到最强结论「可导」，故无需再逐个排除较弱选项。

分析：由定义 $f(0)=0^{2}g(0)=0$。直接分别计算左、右导数，若相等则可导（从而连续、极限存在）。

右导数（用 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$）：
$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos x}{x\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2/2}{x^{3/2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{2}=0.$$

左导数（$g$ 有界）：
$$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^{2}g(x)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }xg(x)=0.$$

因 $f_{+}^{\prime }(0)=f_{-}^{\prime }(0)=0$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。应选 D。