1999 年考研数学（一） 第 8 题

级数只出现 $\cos n\pi x$，表明它是周期 $2$ 的偶函数的展开，求某点级数和先用「周期 + 偶」把自变量搬回 $[0,1]$。化简后落到 $x=\frac{1}{2}$ 恰是 $f$ 的跳跃间断点，此处级数不收敛到函数值，而由狄利克雷定理收敛到左右极限的算术平均。抓住「间断点取平均」是要害。

分析：$S(x)$ 是 $f$ 在 $[0,1]$ 上的余弦级数之和，相当于把 $f$ 作偶延拓再作周期 $2$ 延拓。由狄利克雷收敛定理，间断点处级数收敛到左、右极限的平均值。

$S(x)$ 是以 $2$ 为周期的偶函数，故
$$S\left(-\frac{5}{2}\right)=S\left(-\frac{5}{2}+2\right)=S\left(-\frac{1}{2}\right)=S\left(\frac{1}{2}\right).$$

$x=\frac{1}{2}$ 是 $f$ 的间断点：$f\left(\frac{1}{2}-0\right)=\frac{1}{2}$，$f\left(\frac{1}{2}+0\right)=2-2\cdot \frac{1}{2}=1$。由收敛定理
$$S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{f(\frac{1}{2}-0)+f(\frac{1}{2}+0)}{2}=\frac{\frac{1}{2}+1}{2}=\frac{3}{4}.$$

故 $S\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{4}$，应选 C。