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1999 年考研数学（一） 第 9 题
选择题 · 3 分
设 是 矩阵， 是 矩阵，则（ ）
- A当 时，必有行列式 .
- B当 时，必有行列式 .
- C当 时，必有行列式 .
- D当 时，必有行列式 .
提示 1
是 阶方阵， 等价于它降秩，考虑用秩的不等式估计 。提示 2
用 ，而 都不超过 。提示 3
分 与 两种情形，看能否断定 。答案与详解
答案 B
思路（为什么这么做）
判断乘积方阵的行列式是否必为 ，本质是判断它是否必然降秩，工具就是秩不等式 。当 时秩被 卡住，， 阶方阵必降秩故 ；当 时秩不受限，可满秩也可不满，无法作出必然结论，所以只能选那个「必为零」的情形。
解答
分析： 是 阶方阵， 等价于 降秩。用秩的不等式 估计。
当 时，，，故
即 阶方阵 降秩，从而 。
当 时， 既可能满秩也可能降秩（可举例使 ），故 C、D 都不成立。应选 B。
当 时，，，故
即 阶方阵 降秩，从而 。
当 时， 既可能满秩也可能降秩（可举例使 ），故 C、D 都不成立。应选 B。