1999 年考研数学（一） 第 6 题

选择题判断「必然成立」，策略是「证一个、否三个」。关键意识在于原函数带任意常数 $C$：像「奇函数」这种性质会被常数破坏（$\sin x+C$ 未必是奇函数），而「偶函数」性质不受常数影响（偶 + 常数仍偶）。所以 A 最稳健，B 靠一个常数就能举反例，C、D 靠具体函数举反例。

分析：逐项判断。注意“原函数”不唯一，任意两个原函数只相差常数，所以正确结论必须对全体原函数成立。

A 正确：取原函数 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，令 $t=-u$，
$${\int }_a^{-x}f(t)\mathrm{d}t={\int }_{-a}^{x}f(-u)(-\mathrm{d}u)={\int }_{-a}^{x}f(u)\mathrm{d}u.$$
$f$ 为奇函数时 ${\int }_{-a}^{a}f=0$，故该原函数为偶函数；一般原函数与它相差常数，而“偶函数 + 常数”仍是偶函数，所以 $F(x)$ 必为偶函数。

B、C、D 均可举反例：
B，$f(x)=\cos x$ 为偶函数，原函数 $\sin x+C$ 当 $C\ne 0$ 不是奇函数；
C，$f(x)=1+\cos x$ 为周期函数，原函数 $x+\sin x+C$ 含非周期项 $x$，不是周期函数；
D，$f(x)=x$ 单调增，原函数 $\frac{x^2}{2}+C$ 在 $(-\infty ,0)$ 上递减，不单调。

故应选 A。