1999 年考研数学（一） 第 5 题

见到「求并的概率 + 若干独立条件」，主线是容斥公式 $P(A\cup B\cup C)=\sum P-\sum P(\text{两两交})+P(\text{三交})$。两两独立让交事件概率变成 $p^2$，$ABC=\varnothing$ 让三交项为 $0$，于是化成一元二次方程。最后务必用附加条件 $p<\frac{1}{2}$ 排除增根。

分析：用三事件并的加法公式，结合两两独立与 $ABC=\varnothing$ 化简。

记 $P(A)=p$。由两两独立，$P(AB)=P(AC)=P(BC)=p^2$；由 $ABC=\varnothing$，$P(ABC)=0$。由加法公式
$$P(A\cup B\cup C)=3P(A)-3P(AB)+P(ABC)=3p-3p^2=\frac{9}{16}.$$

解方程 $3p-3p^2=\frac{9}{16}$，得 $p=\frac{1}{4}$ 或 $p=\frac{3}{4}$。由条件 $p<\frac{1}{2}$，取 $P(A)=\frac{1}{4}$。