1999 年考研数学（一） 第 4 题

元素全为 $1$ 的矩阵是秩 $1$ 的实对称矩阵，这类「低秩 + 对称」矩阵求特征值不必去解特征方程。信号是 $r(A)=1$：可对角化时非零特征值个数等于秩，所以有 $n-1$ 个 $0$；最后用「迹 = 全部特征值之和」一步定出那个非零值。「秩定零的个数、迹定非零值」是套路。

分析：$A$ 是元素全为 $1$ 的实对称矩阵，秩为 $1$，可用“秩 + 迹”快速求出全部特征值。

因为 $A$ 的各行相同，$r(A)=1$。$A$ 为实对称矩阵必可对角化，其非零特征值的个数等于 $r(A)=1$，故 $A$ 有 $n-1$ 个特征值为 $0$。

又 $\mathrm{tr}A=n$ 等于全部特征值之和，故那唯一的非零特征值为 $n$。

综上，$A$ 的特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_{n-1}=0,{\lambda }_n=n$。