1999 年考研数学（一） 第 3 题

标准二阶常系数方程，套「齐次通解 + 特解」框架。关键判断是右端指数 $e^{2x}$ 里的 $2$ 是否为特征根：这里 $2$ 是单根，发生共振，特解要额外乘一个 $x$，否则代入后左端恒为零无法匹配右端。识别「指数幂与特征根重合」是确定特解形式的核心。

分析：二阶常系数非齐次线性方程，通解 = 齐次方程通解 + 一个特解。

齐次方程 $y^{\prime \prime }-4y=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2-4=0$，特征根 ${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=2$，故齐次通解为 $Y=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^{2x}$。

因 $2$ 是特征单根，设特解 $y_0=ax{e}^{2x}$。代入方程得 $y_0^{\prime \prime }-4y_0=4a{e}^{2x}=e^{2x}$，故 $a=\frac{1}{4}$。

所以通解为 $y=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^{2x}+\frac{1}{4}x{e}^{2x}$（$C_1,C_2$ 为任意常数）。