1999 年考研数学（一） 第 2 题

变限积分求导公式 $({\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t{)}^{\prime }=g(x)$ 的前提是被积函数不含求导变量 $x$。本题被积函数 $\sin (x-t{)}^2$ 里含 $x$，直接求导会出错。信号就是「上限变量出现在被积函数内」，标准对策是换元 $u=x-t$ 把 $x$ 挪到积分限上，再套公式。

分析：被积函数中含有上限变量 $x$，不能直接套用变限积分求导公式，须先换元把 $x$ 从被积函数里移出。

令 $u=x-t$，当 $t:0\to x$ 时 $u:x\to 0$，$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$，于是
$${\int }_0^x\sin (x-t{)}^2\mathrm{d}t={\int }_x^0\sin u^2(-\mathrm{d}u)={\int }_0^x\sin u^2\mathrm{d}u.$$

此时上限为 $x$、被积函数与 $x$ 无关，由变限积分求导公式
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^x\sin u^2\mathrm{d}u=\sin x^2.$$