1999 年考研数学（一） 第 1 题

看到 $\infty -\infty$ 型，第一反应是通分合并成一个分式，把它转成 $\frac{0}{0}$ 型。分母的 $\tan x$ 可用等价无穷小换成 $x$ 以降低求导次数；但分子 $\tan x-x$ 是三阶无穷小，不能再随意用等价无穷小替换，只能整体用洛必达或泰勒。识别出「分子分母同为三阶」是选对工具的关键。

分析：通分后为 $\frac{0}{0}$ 型，用等价无穷小把分母化简，再用洛必达法则。

通分：$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\tan x}=\frac{\tan x-x}{x^2\tan x}$。当 $x\to 0$ 时 $\tan x\sim x$，故 $x^2\tan x\sim x^3$，于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x^2\tan x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x^3}.$$

对 $\frac{\tan x-x}{x^3}$ 用洛必达法则：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sec }^{2}x-1}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\tan }^{2}x}{3x^2}=\frac{1}{3}.$$

故原极限等于 $\frac{1}{3}$。