1998 年考研数学（一） 第 20 题

本题的对称美在于「(I) 的解 $=$ $B$ 的列，(II) 的系数 $=$ $B^{\mathrm{T}}$ 的行」。核心恒等式 $AB=O$ 一转置就成 $B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}=O$，说明 $A$ 的各行转置正是 (II) 的解；再数维数（都等于 $n$）确认它们恰好撑满解空间，于是通解就由 $A$ 的行向量线性组合而成。

记号：设 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times 2n}$，把 (I) 的基础解系向量 ${\mathbf{\beta }}_i=(b_{i1},b_{i2},\cdots ,b_{i,2n}{)}^{\mathrm{T}}$ 作为列排成 $2n\times n$ 矩阵 $\mathbf{B}=({\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)$。则 (I) 为 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，(II) 为 ${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}=0$。

秩与关系：${\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 是 (I) 的基础解系，故 $r(\mathbf{A})=2n-n=n$，且 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{O}$；又它们线性无关，故 $r(\mathbf{B})=r({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}})=n$。

构造 (II) 的解：由 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{O}$ 转置得 ${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{O}$，即 $\mathbf{A}$ 的各行的转置 ${\mathbf{\eta }}_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{i,2n}{)}^{\mathrm{T}}(i=1,\cdots ,n)$ 都是 (II) ${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}=0$ 的解。

它们是基础解系：(II) 有 $2n$ 个未知量，$r({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}})=n$，其解空间维数为 $2n-n=n$；而 $r(\mathbf{A})=n$ 表明 ${\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_n$ 线性无关，故它们恰构成 (II) 的一个基础解系。

通解：$\mathbf{y}=k_1{\mathbf{\eta }}_1+k_2{\mathbf{\eta }}_2+\cdots +k_n{\mathbf{\eta }}_n$，其中 ${\mathbf{\eta }}_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{i,2n}{)}^{\mathrm{T}}$，$k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 为任意常数。