1998 年考研数学（一） 第 21 题

独立正态的线性组合仍是正态，所以先把 $X-Y$ 归结为一个标准正态 $Z$，问题就变成求 $|Z|$ 的方差。用 $D|Z|=E(Z^2)-(E|Z|{)}^2$ 拆开：$E(Z^2)$ 就是方差 $1$，唯一要算的 $E|Z|$ 借被积函数的偶性化成 $2{\int }_0^{+\infty }$ 一步积出，避免了去求 $|Z|$ 的密度。

确定分布：令 $Z=X-Y$。由 $X,Y$ 相互独立且 $X,Y\sim N\left(0,\frac{1}{2}\right)$，得 $E(Z)=0$，$D(Z)=D(X)+D(Y)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，故 $Z\sim N(0,1)$。

求 $E|Z|$：
$$E|X-Y|=E|Z|=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }|z|{\mathrm{e}}^{-z^2/2}\mathrm{d}z=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{+\infty }z{\mathrm{e}}^{-z^2/2}\mathrm{d}z=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}.$$

求方差：$E|X-Y{|}^2=E(Z^2)=D(Z)+[E(Z){]}^2=1$，故
$$D|X-Y|=E|X-Y{|}^2-(E|X-Y|{)}^2=1-{\left(\frac{2}{\sqrt{2\pi }}\right)}^2=1-\frac{2}{\pi }.$$