1998 年考研数学（一） 第 22 题

核心是「样本均值的方差随 $n$ 变小」：$\bar{X}\sim N(3.4,6^2/n)$。区间 $(1.4,5.4)$ 恰以均值 $3.4$ 为中心、半宽为 $2$，标准化后概率写成 $2\Phi (\sqrt{n}/3)-1$。要它 $\ge 0.95$ 就需 $\Phi \ge 0.975$，查表对应到 $1.96$，解不等式并向上取整（概率是 $n$ 的增函数，取满足条件的最小整数）。

样本均值分布：设 $\bar{X}$ 为样本均值，则 $\bar{X}\sim N\left(3.4,\frac{6^2}{n}\right)$，即 $\frac{\bar{X}-3.4}{6/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$。

列不等式：
$$P\{1.4<\bar{X}<5.4\}=P\left\{-\frac{2}{6/\sqrt{n}}<\frac{\bar{X}-3.4}{6/\sqrt{n}}<\frac{2}{6/\sqrt{n}}\right\}=2\Phi \left(\frac{\sqrt{n}}{3}\right)-1\ge \mathrm{0.95.}$$

求 $n$：$\Phi \left(\frac{\sqrt{n}}{3}\right)\ge 0.975$，即 $\frac{\sqrt{n}}{3}\ge 1.96$，解得 $n\ge 34.57$。故样本容量 $n$ 至少应取 $35$。