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1998 年考研数学（一）第 23 题

解答题 · 4 分

设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取

36

位考生的成绩，算得平均成绩为

66.5

分，标准差为

15

分。问在显著性水平

0.05

下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为

70

分？并给出检验过程。（参考数据：

t_{0.975} (35) = 2.0301

。）

提示 1

总体正态、方差未知、检验均值——这是单样本

t

检验。先建立原假设

H_{0} : μ = 70

与备择假设

H_{1} : μ \neq = 70

。

提示 2

因方差未知，用统计量

t = \frac{X ˉ - μ _{0}}{s / n}

，在

H_{0}

成立时它服从

t (n - 1)

。

提示 3

用给定的

t_{0.975} (35)

定出双侧接受域，算出

t

值看是否落入其中，再下结论。

答案与详解

思路（为什么这么做）

判别检验类型的信号是「正态总体

+

方差未知

+

检验均值」，据此锁定单样本

t

检验。构造

t = \frac{X ˉ - 70}{s / 36}

，双侧检验用

t_{0.975} (35)

划出接受域；把样本数据代入算出

t

，看它落在接受域内还是外，据此接受或拒绝

H_{0}

。

解答

建立假设：设总体

X \sim N (μ, σ^{2})

，

σ^{2}

未知。检验

H_{0} : μ = 70

，

H_{1} : μ \neq = 70

。

选统计量：因

σ^{2}

未知，用

t

检验，取

t = \frac{X ˉ - 70}{s / 36} \sim t (35) (在 H_{0} 成立时) .

定接受域：显著性水平

α = 0.05

，由

t_{0.975} (35) = 2.0301

，

H_{0}

的接受域为

(- 2.0301, 2.0301)

。

计算并判断：

t = \frac{66.5 - 70}{15/6} = \frac{- 3.5}{2.5} = - 1.4 \in (- 2.0301, 2.0301)

，落在接受域内，故接受

H_{0}

，即在

0.05

显著性水平下可以认为这次考试全体考生的平均成绩为

70

分。

考点：正态总体参数的假设检验、假设检验的基本思想

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