1998 年考研数学（一） 第 19 题

关键资源是 $A^k\alpha =0$（乘上足够高的幂即被湮灭）与 $A^{k-1}\alpha \ne 0$（最高次项不为零）。用「左乘 $A$ 的幂」当筛子：乘 $A^{k-1}$ 能把除首项外的所有项清零，从而孤立出 $l_0$；再逐次降幂，像剥洋葱一样一层层逼出每个系数为零。

证明：由已知 ${\mathbf{A}}^k\mathbf{\alpha }=0$，从而 ${\mathbf{A}}^{k+j}\mathbf{\alpha }=0(j\ge 0)$。设
$$l_0\mathbf{\alpha }+l_1\mathbf{A}\mathbf{\alpha }+\cdots +l_{k-1}{\mathbf{A}}^{k-1}\mathbf{\alpha }=0.(\ast )$$

在 $(\ast )$ 两边左乘 ${\mathbf{A}}^{k-1}$：因 ${\mathbf{A}}^{k-1}\cdot {\mathbf{A}}^i\mathbf{\alpha }={\mathbf{A}}^{k-1+i}\mathbf{\alpha }=0(i\ge 1)$，只剩 $l_0{\mathbf{A}}^{k-1}\mathbf{\alpha }=0$。又 ${\mathbf{A}}^{k-1}\mathbf{\alpha }\ne 0$，故 $l_0=0$。

再在剩下的等式两边依次左乘 ${\mathbf{A}}^{k-2},{\mathbf{A}}^{k-3},\cdots ,\mathbf{A},\mathbf{E}$，同理逐个得 $l_1=0,l_2=0,\cdots ,l_{k-1}=0$。故 $\mathbf{\alpha },\mathbf{A}\mathbf{\alpha },\cdots ,{\mathbf{A}}^{k-1}\mathbf{\alpha }$ 线性无关。