1998 年考研数学（一） 第 18 题

正交变换把二次型化为标准形，其平方项系数正是特征值，所以由目标 ${\eta }^2+4{\zeta }^2$ 立刻读出特征值 $0,1,4$。再借「迹 $=$ 特征值之和、行列式 $=$ 特征值之积」这两把万能钥匙定出 $a,b$，最后把单位正交特征向量按对应特征值的顺序排列即得 $P$——列的顺序要与 $\xi ,\eta ,\zeta$ 对齐是关键。

求 $a,b$：二次型对应的对称矩阵为 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& b& 1\\ b& a& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$，二次曲面即 ${\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{X}=4$。由正交变换后化为 ${\eta }^2+4{\zeta }^2$（缺 ${\xi }^2$ 项），知 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=4$。

由 $\mathrm{tr}\mathbf{A}={\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3$ 得 $1+a+1=5$，故 $a=3$；由 $|\mathbf{A}|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=0$，而 $|\mathbf{A}|=-(b-1{)}^2$，得 $b=1$。故 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$。

求特征向量：解 $({\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$：
$${\lambda }_1=0:{\alpha }_1=(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}};{\lambda }_2=1:{\alpha }_2=(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}};{\lambda }_3=4:{\alpha }_3=(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}.$$
（不同特征值的特征向量自动正交。）

单位化得 ${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$，${\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$，${\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}$，按 $\xi ,\eta ,\zeta$ 对应 $\lambda =0,1,4$ 排列，得正交矩阵
$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0& -\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right),$$
它使 ${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathrm{diag}(0,1,4)$，方程化为 ${\eta }^2+4{\zeta }^2=4$。