1998 年考研数学（一） 第 14 题

第二类曲面积分遇到球面，先利用「面上 $x^2+y^2+z^2=a^2$」把分母变成常数——这是化简的突破口。曲面不闭合就「补面凑高斯」，把难算的曲面积分转成三重积分加一块简单平面积分；补面的定向以及最后要减去补面这两点是易错处，务必对齐。

化简：在 $\Sigma$ 上 $x^2+y^2+z^2=a^2$，故 $(x^2+y^2+z^2{)}^{1/2}=a$，于是
$$I=\frac{1}{a}{\iint }_{\Sigma }ax\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(z+a{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

补面用高斯公式：补上 ${\Sigma }_0:z=0(x^2+y^2\le a^2)$ 取下侧，则 $\Sigma +{\Sigma }_0$ 围成下半球体 $\Omega$，且此组合方向为 $\Omega$ 的内侧。设 $P=ax,Q=0,R=(z+a{)}^2$，散度 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial z}=a+2(z+a)=2z+3a$。

由高斯公式（内侧取负号）
$$\iint ax\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(z+a{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-{\iiint }_{\Omega }(2z+3a)\mathrm{d}V=-2{\iiint }_{\Omega }z\mathrm{d}V-3a\cdot \frac{2}{3}\pi a^3.$$

用球坐标（下半球 $\phi \in [\frac{\pi }{2},\pi ]$）：
$$-2{\iiint }_{\Omega }z\mathrm{d}V=-2{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{\pi /2}^{\pi }\mathrm{d}\phi {\int }_0^a{r}^3\sin \phi \cos \phi \mathrm{d}r=\frac{\pi a^4}{2},$$
故 $\iint =\frac{\pi a^4}{2}-2\pi a^4=-\frac{3\pi a^4}{2}$。

而在 ${\Sigma }_0$ 上 $z=0$、$\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 分量为 $0$，取下侧：
$${\iint }_{{\Sigma }_0}ax\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(z+a{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-{\iint }_{x^2+y^2\le a^2}{a}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\pi a^4.$$

于是
$${\iint }_{\Sigma }=\iint -{\iint }_{{\Sigma }_0}=-\frac{3\pi a^4}{2}-(-\pi a^4)=-\frac{\pi a^4}{2},$$
故 $I=\frac{1}{a}\left(-\frac{\pi a^4}{2}\right)=-\frac{\pi a^3}{2}$。