1998 年考研数学（一） 第 15 题

分母里那个碍事的 $\frac{1}{i}$ 使和式不能直接写成黎曼和，但它被 $n$ 与 $n+1$ 紧紧夹住，这正是夹逼准则的信号。把上下界都凑成 $\frac{1}{n}\sum \sin \frac{i\pi }{n}$ 形式的黎曼和，它们收敛到同一个定积分 ${\int }_0^1\sin \pi x\mathrm{d}x$，极限随之确定。

分析：记 $b_n=\sum _{i=1}^n\frac{\sin \frac{i\pi }{n}}{n+\frac{1}{i}}$。各项分母 $n+\frac{1}{i}$ 介于 $n$ 与 $n+1$ 之间，用夹逼准则把 $b_n$ 夹在两个可化为定积分的和之间。

由 $n<n+\frac{1}{i}\le n+1(1\le i\le n)$ 及 $\sin \frac{i\pi }{n}\ge 0$，得
$$\frac{1}{n+1}\sum _{i=1}^n\sin \frac{i\pi }{n}\le b_n\le \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\sin \frac{i\pi }{n}.$$

由定积分定义，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\sin \frac{i\pi }{n}={\int }_0^1\sin \pi x\mathrm{d}x$；又 $\frac{1}{n+1}\sum =\frac{n}{n+1}\cdot \frac{1}{n}\sum$ 有相同极限。由夹逼准则
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n={\int }_0^1\sin \pi x\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi }[-\cos \pi x{]}_0^1=\frac{2}{\pi }.$$