1998 年考研数学（一） 第 16 题

突破口是那句「交错级数发散」——对单调递减的正数列，若极限为 $0$ 则莱布尼茨判别法保证收敛，与发散矛盾，故必有 $A>0$。有了 $A>0$，目标级数通项的 $n$ 次幂结构提示用根值法，开 $n$ 次方后极限为 $\frac{1}{A+1}<1$，收敛立判。

先定极限：$\{a_n\}$ 单调减少且有下界 $0$，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=A$ 存在，$A\ge 0$。若 $A=0$，则由莱布尼茨判别法（单调递减趋于 $0$），交错级数 $\sum (-1{)}^n{a}_n$ 将收敛，与题设发散矛盾，故 $A>0$。

根值判别：级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{a_n+1}\right)}^n$ 为正项级数，
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{{\left(\frac{1}{a_n+1}\right)}^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{a_n+1}=\frac{1}{A+1}<1.$$
由根值判别法，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{a_n+1}\right)}^n$ 收敛。