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1998 年考研数学（一）第 13 题

解答题 · 6 分

从船上向海中沉放某种探测器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度

y

（从海平面算起）与下沉速度

v

之间的函数关系。设仪器在重力作用下从海平面由静止开始铅直下沉，下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为

m

，体积为

B

，海水比重为

ρ

，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为

k (k > 0)

。试建立

y

与

v

所满足的微分方程，并求出函数关系式

y = y (v)

。

提示 1

先做受力分析：重力

m g

向下，浮力

B ρ

与阻力

k v

向上，用牛顿第二定律列出关于时间

t

的二阶方程。

提示 2

题目要

y

与

v

的关系而非含

t

，用降阶技巧

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} = v \frac{d v}{d y}

把

t

消去。

提示 3

得到

\frac{d y}{d v} = \frac{m v}{m g - B ρ - k v}

后分离变量积分，注意用初始条件

v = 0, y = 0

定常数。

答案与详解

思路（为什么这么做）

物理建模题先老实做受力分析，得牛顿方程

m \overset{y}{¨} = m g - B ρ - k v

。要

y (v)

而不含

t

，关键变换是

\overset{y}{¨} = v \frac{d v}{d y}

（把自变量从

t

换成

y

），方程随即变成可分离变量的一阶方程，积分并代入初值即可。

解答

建立方程：取沉放点为坐标原点，

y

轴铅直向下。仪器受向下的重力

m g

、向上的浮力

B ρ

和向上的阻力

k v

。由牛顿第二定律

m \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} = m g - B ρ - k v .

降阶：令

\frac{d y}{d t} = v

，则

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} = \frac{d v}{d t} = v \frac{d v}{d y}

，代入得

m v \frac{d v}{d y} = m g - B ρ - k v

，即

y

与

v

满足

\frac{d y}{d v} = \frac{m v}{m g - B ρ - k v} .

求解：分离变量

d y = \frac{m v}{m g - B ρ - k v} d v

，积分得

y = - \frac{m}{k} v - \frac{m ( m g - B ρ )}{k ^{2}} ln (m g - B ρ - k v) + C_{0} .

由初始条件

v = 0

时

y = 0

，得

C_{0} = \frac{m ( m g - B ρ )}{k ^{2}} ln (m g - B ρ)

，故

y = - \frac{m}{k} v - \frac{m ( m g - B ρ )}{k ^{2}} ln \frac{m g - B ρ - k v}{m g - B ρ} .

考点：可降阶的高阶微分方程、微分方程的综合与应用、一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）

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