1998 年考研数学（一） 第 12 题

「是梯度」等价于「存在原函数」即「是全微分」，在单连通区域上便转化为可判定的条件 $P_y=Q_x$；令其恒成立便解出 $\lambda =-1$。求 $u$ 时利用积分与路径无关，选一条使计算最简的折线（沿坐标轴走能让一段被积函数为零），比直接凑全微分更机械稳妥。

分析：$\mathbf{A}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}$ 为某 $u$ 的梯度，等价于 $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 为全微分，即在单连通区域 $x>0$ 上 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$。

记 $P=2xy(x^4+y^2{)}^{\lambda }$，$Q=-x^2(x^4+y^2{)}^{\lambda }$。求偏导：
$$\frac{\partial P}{\partial y}=2x(x^4+y^2{)}^{\lambda }+4\lambda x{y}^2(x^4+y^2{)}^{\lambda -1},$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x}=-2x(x^4+y^2{)}^{\lambda }-4\lambda x^5(x^4+y^2{)}^{\lambda -1}.$$

令 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，两式相减整理得 $4x(\lambda +1)(x^4+y^2{)}^{\lambda }=0$，故 $\lambda =-1$。

求 $u$：取 $\lambda =-1$，$P=\frac{2xy}{x^4+y^2}$，$Q=\frac{-x^2}{x^4+y^2}$。沿折线从 $(1,0)$ 到 $(x,0)$ 再到 $(x,y)$ 积分（与路径无关）：
$$u(x,y)={\int }_{(1,0)}^{(x,y)}\frac{2xy\mathrm{d}x-x^2\mathrm{d}y}{x^4+y^2}={\int }_1^{x}0\mathrm{d}x+{\int }_0^y\frac{-x^2}{x^4+y^2}\mathrm{d}y=-\arctan \frac{y}{x^2}+C.$$
故所求二元函数为 $u(x,y)=-\arctan \frac{y}{x^2}+C$（$C$ 为任意常数）。