1998 年考研数学（一） 第 11 题

投影直线的关键构造是「投影平面」——过 $l$ 且垂直于 $\pi$，用平面束加「法向量垂直」条件一步定出 $\lambda$，避免逐点投影的繁琐。旋转曲面则抓两条不变量：绕 $y$ 轴转时 $y$ 坐标不动、到轴距离 $x^2+z^2$ 不变；把母线上点的坐标用 $y$ 参数化代入这两条约束即得曲面方程。

分析：过 $l$ 作垂直于 $\pi$ 的平面（投影平面），它与 $\pi$ 的交线即投影直线 $l_0$；再用旋转曲面方法求 $l_0$ 绕 $y$ 轴旋转所成曲面。

求投影直线：$l$ 的一般式为 $\{\begin{array}{l}x-y-1=0,\\ y+z-1=0.\end{array}$ 过 $l$ 的平面束为 $(x-y-1)+\lambda (y+z-1)=0$，即 $x+(\lambda -1)y+\lambda z-1-\lambda =0$，其法向量为 $(1,\lambda -1,\lambda )$。要使该平面垂直于 $\pi$，须其法向量与 $\pi$ 的法向量 $(1,-1,2)$ 垂直：$(1,-1,2)\cdot (1,\lambda -1,\lambda )=2+\lambda =0$，得 $\lambda =-2$。

于是投影平面为 $x-3y-2z+1=0$，投影直线
$$l_0:\{\begin{array}{l}x-3y-2z+1=0,\\ x-y+2z-1=0.\end{array}$$
它过点 $(2,1,0)$，方向向量 $s=(1,-3,-2)\times (1,-1,2)=(-8,-4,2)\parallel (4,2,-1)$，故点向式为
$$l_0:\frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}.$$

求旋转曲面：设 $l_0$ 绕 $y$ 轴旋转所成曲面为 $\Sigma$。任取 $P(x,y,z)\in \Sigma$，它由 $l_0$ 上某点 $P_0(x_0,y,z_0)$ 绕 $y$ 轴旋转而得，旋转圆心为 $T(0,y,0)$。由 $|PT|=|P_{0}T|$ 得 $x^2+z^2=x_0^2+z_0^2$。

又 $P_0\in l_0$：$\frac{x_0-2}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z_0}{-1}$，解得 $x_0=2y$，$z_0=-\frac{y-1}{2}$。代入得
$$x^2+z^2=(2y{)}^2+(\frac{y-1}{2}{)}^2=4y^2+\frac{(y-1{)}^2}{4}.$$
整理即得旋转曲面方程 $4x^2-17y^2+4z^2+2y-1=0$。