1997 年考研数学（一） 第 9 题

几何的「共点」等价于线性方程组「有唯一解」，标准判据 $r(A)=r(\bar{A})=$ 未知数个数 $=2$。把 $-c_i$ 视作增广列 ${\alpha }_3$：前者 $=2$ 要求 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 无关，后者 $=2$ 要求 ${\alpha }_3$ 可由前两者表示（即三者相关）。只保证相容的选项可能给出无穷多解，不能确保唯一，故要选更强的条件。

分析：三直线交于一点 $⟺$ 关于 $x,y$ 的方程组有唯一公共解。把方程写成 $a_{i}x+b_{i}y=-c_i$。

转化为方程组：方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=-c_1,\\ a_{2}x+b_{2}y=-c_2,\\ a_{3}x+b_{3}y=-c_3\end{array}$$
有唯一解的充要条件是系数矩阵与增广矩阵同秩且等于未知数个数 $2$，即 $r(A)=r(\bar{A})=2$，其中 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)$，$\bar{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$。

$r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)=2$ 表示 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关；$r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)=2$（增广列为 $-{\mathbf{\alpha }}_3$，秩与含 ${\mathbf{\alpha }}_3$ 者相同）表示 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关。

即“${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关，且 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关”，应选 D。（选项 C 只保证方程组相容不保证唯一解，不充分。）